Ricevimento:
Giovedì 13-14.30 Stanza 109 Largo S L Murialdo 1 o per appuntamento scrivendo a bruno@mat.uniroma3.it
Programma del corso:
I modulo
1- Sistemi lineari: matrice dei coefficienti; somma di matrici e prodotto per scalari; matrici ridotte: algoritmo di Gauss-Jordan.
2- Prodotto righe per colonne di matrici; matrici invertibili; rango di una matrice: il Teorema di Rouche’-Capelli.
3- Vettori geometrici. Spazi vettoriali. Sottospazi. Vettori generatori e vettori linearmente indipendenti.
4- Base di uno spazio vettoriale; dimensione; la formula di Grassmann.
5- Applicazioni lineari: nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Il Teorema di nullita’ piu’ rango.
6- Matrice associata a un’applicazione lineare. Diagonalizzazione di operatori lineari.
Testo di riferimento:
F. Flamini; A. Verra: “Matrici e vettori -Corso di base di geometria e algebra lineare” Carocci ed.
Un ottimo testo con esercizi svolti: in rete all’indirizzo:
Fai clic per accedere a Esercizi_algebra_lineare_2.pdf
Diario delle lezioni:
1/10 – Insiemi numerici
3/10- Equazioni lineari: generalità (Capitolo 1.1)
8/10- Esempi di sistemi lineari: 1×1, 1×2, 2×2; metodi di risoluzione e rette nel piano
10/10- Il metodo di Cramer. Sistemi equivalenti. Sistemi a gradini e il metodo di Gauss-Jordan
15/10- Matrici ridotte. L’algoritmo di riduzione di una matrice
17/10- Applicazione ai sistemi lineari: sistemi ridotti. Il numero delle righe non nulle di una matrice ridotta per righe che sia modificazione delle righe è un invariante
22/10- Moltiplicazione righe per colonne. Esempi ed esercizi (Capitolo 2.1)
29/10- Matrici invertibili. Il caso delle matrici 2 x2: determinante e inversa
29/10- Caratterizzazione delle matrici invertibili. Il gruppo GL(n). Riduzione per righe mediante il prodotto a sinistra per una matrice invertibile.
31/10- Determinazione dell’inversa di una matrice invertibile mediante il procedimento di Gauss-Jordan (Capitolo 2.2)
5/11-Invertibilità di matrici mediante il procedimento di Gauss-Jordan
7/11- Rango di una matrice. Esercizi.
12/11- Definizione di spazio vettoriale. Esempi di spazi vettoriali. L’insieme dei vettori geometrici è uno spazio vettoriale.
14/11- Il prodotto cartesiano di spazi vettoriali. Definizione di sottospazio di uno spazio vettoriale.Esempi di sottospazi vettoriali. L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio di R^n.
19/11- Esercizi sui sottospazi vettoriali
21/11- Sottospazi vettoriali di R^2
26/11- Sistemi di generatori di uno spazio vettoriale. L’algoritmo di Gauss- Jordan e lo spazio generato dalle righe di une matrice
28/11- Vettori linearmente indipendenti, Definizione ed esempi.
3/12 Uno spazio vettoriale generato da p vettori non ha più di p+1 vettori linearmente indipendenti. Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori, che è la dimensione di uno spazio vettoriale. Se dimV=n allora n vettori linearmente indipendenti o n generatori formano una base.
5/12 Se V ha una base ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base e quindi a ogni vettore si associa in maniera univoca una n-pla di numeri reali. Esempi ed esercizi
10/12 Basi. Esercizi ed esempi
12/12 Applicazioni lineari. Definizione ed esempi. Il nucleo, l’immagine e il teorema di nullità più rango
DOMANI LUNEDì 16 TERRO’ UNA ESERCITAZIONE ALLE ORE 16. APPUNTAMENTO IN N16 POI VEDIAMO DOVE CI METTIAMO
17/12 La formula di Grassmann.
7/1 Fissare una base di uno spazio vettoriale significa fissare un isomorfismo con R^n. Due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.
9/1 Ogni applicazione lineare tra R^n e R^m è data da una matrice. La composizione di applicazioni lineari è lineare; ne segue che ogni applicazione lineare tra spazi vettoriali di cui si sia fissata una base è data da una matrice.
CONTRARIAMENTE A QUANTO PENSAVO MERCOLEDI’ 15 NON CI SARA’ ESERCITAZIONE, CHE CI SARA’ MERCOLEDI’ 22
14/1 Cambiamenti di base. Relazione tra matrici che rappresentano un’ applicazione lineari rispetto a differenti basi. Operatori lineari e matrici simili.
16/1 Il problema della diagonalizzazione di operatori. Autovalori e autovettori. Il determinante e il polinomio caratteristico
MERCOLEDI’ 22 ALLE ORE 15 IN AULA N4 ESERCITAZIONE SULLA DIAGONALIZZABILITA’ DI OPERATORI
PER LA PROVA DI ESONERO HO PRENOTATO L’AULA N18 DALLE 9,30 IN POI IL 21 FEBBRAIO
21/1 Diagonalizzabilità di operatori
23/1 Esercitazione generale
ULTERIORI ESERCITAZIONI GENERALI:
4/2 ore 14-16 aula N16
11/2 ore 12-14 aula N16
Mi sto attrezzando per partire il prima possibile con la didattica online.
Venerdi’ 13 alle ore 10 vorrei fare lezione. Leggero’ le dispense di Savo e cerchero’
di commentarle e di fare esercizi, seppure con scarsi mezzi.
Vi pregherei di accedere e registrarvi su Microsoft Team: per gli studenti di Roma Tre e’ sufficiente accedere e registrarsi con email istituzionale @stud.uniroma3.it e password che usate per accedere su gomp. Purtroppo non troverete su Teams il nostro corso; vi pregherei di inviarmi una mail con soltanto il vostro indirizzo @stud.uniroma3.it, dimodoché io vi inviti nel corso.
3/03 Prodotti scalari e matrici simmetriche
13/03 Prodotto scalare standard. Angolo tra due vettori. Basi ortogonali e basi ortonormali. Coefficienti di Fourier. (Dispense di A. Savo Parte 8 pagg. 1-8). La lezione è registrata su Microsof Teams
Mi e’ stato detto che potete entrare in MT e registrarvi al corso inserendo il codice!
Il codice è 41iizfi
17/03 Basi ortonormali. Coefficienti di Fourier. L’algoritmo di Gram Schmidt
20/03 Complemento ortogonale di un sottospazio. Operatori simmetrici. Gli autospazi relativi a differenti autovalori sono ortogonali. Il Teorema spettrale: gli operatori simmetrici sono caratterizzati dall’avere una base ortonormale di autovettori
24/03 Vettori del piano. Riferimenti affini e cartesiani nel piano. Equazioni parametriche e cartesiane di rette nel piano. (Savo Parte 9 da pagina 1 a pagina 18)
27/03 Esercizi sulla Parte 8. Basi ortonormali e endomorfismi simmetrici
Le lezioni perdute causa pandemia (6/3 e 10/3) saranno recuperate nei giorni venerdi 10/4 ore 10-12 e martedi’ 14/4 ore 16-18.
31/03 Mutua posizione di due rette, fasci di rette impropri e propri nel piano. Proprietà euclidee: distanza tra punti del piano, rette perpendicolari, proiezione ortogonale di un punto su una retta e distanza tra punto e retta (Savo: fine parte 9). Lo spazio, lo spazio dei vettori applicati in un punto, riferimento cartesiano nello spazio (Savo. Parte 10 primi due paragrafi)
3/04 Equazione parametrica di una retta nello spazio. Intersezione di due rette. Rette complanari e sghembe, Condizione di allineamento di tre punti. Condizione di complanarità per quattro punti. Equazione cartesiana di un piano. Parallelismo e intersezione tra due piani (Savo, Parte 10 sezioni 4,5,6)
7/04 Equazioni cartesiane di una retta. Parallelismo tra retta e piano. Fasci impropri e propri di piani. Stelle di piani. (Savo, Parte 10)
10/4 (Recupero della lezione del 6/3) Prodotto scalare e prodotto vettoriale di vettori. L’area del parallelogramma. Perpendicolarità tra rette e tra una retta e un piano. Il vettore normale a un piano. (Savo, Parte 11 fino al paragrafo 4,3 incluso)
14/4 (Recupero della lezione del 10/3) Perpendicolarità tra due piani. Proiezione ortogonale di un punto su un piano e su una retta. Distanza di un punto da una retta e da un piano. Distanza tra due rette. (Savo, Parte 11, fino al paragrafo 8 escluso)
17/4 Esercizi su dstanze tra rette e rette. Trasformazioni del piano, Formule per cambiamenti di riferimenti cartesiani. Un esempio (Savo, Parte 12a, prime tre sezioni)
21/4 Forme quadratiche in due ( o più) variabili. Forme definite, indefinite, semidefinite. Criteri per la definizione di una forma quadratica (in due variabili: traccia e determinante); ellisse, iperbole, parabola (Savo. Parte 12a)
24/4 Invarianti di una conica. Forme canoniche di coniche. Riduzione di una conica a forma canonica. Il metodo degli invarianti (Savo. Parte 12b)
28/4 Riduzione a forma canonica di una conica.
Esercitazione1 Buon lavoro!
5/5 Curve regolari; vettore tangente e piano osculatore di una curva regolare; lunghezza dell’arco di curva. (Dispense G2, primi 5 paragrafi. HO DIMENTICATO DI REGISTRARE LA LEZIONE!)
Esercitazione2 Buon lavoro!
8/5 Triedro di Frenet e Formule di Frenet per curve piane e spaziali (Fine dispense G2)
(esercizi del Savo, alcuni dei quali molto più difficili di quanto richiesto; relative dispense e soluzioni agli esercizi sul suo sito)
(nella prima parte di Esercizi 5: tante curve di cui calcolare TF, curvatura e torsione)
12/5 Esercizi su curve differenziabili nello spazio. Equazioni differenziali ordinarie: definizioni ed esempi. Il problema di Cauchy. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili.
equazioni_differenziali_Lancellotti
15/5 Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in forma normale lineari . Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine in forma normale lineari a coefficienti costanti. La soluzione generale dell’equazione omogenea. Soluzioni particolari di equazioni non omogenee nel caso di termine noto della forma P(x)e^(a(x)).
Un altro file contenenti esercizi svolti e che ritengo utile è il seguente:EqDif2
Il file EDO è invece utile per approfondimenti (il Teorema 2.2 ha la dimostrazione, solo accennata in classe, del fatto che l’insieme delle soluzione di una EDO lineare a coefficienti costanti è uno spazio vettoriale di dimensione l’ordine della EDO).
19/5 Esercizi su equazioni differenziali. Funzioni di più variabili reali. Introduzione
22/5 Nozioni topologiche. Il concetto di limite. Calcolo di limite: restrizioni a curve e coordinate polari. Continuità.
26/5 Il gradiente di una funzione. Derivabilità e differenziabilità di una funzione. Punti critici e loro classificazione a seconda del segno della matrice Hessiana. Derivata direzionale
L’ESERCITAZIONE DEL 27/5 SARA’ CARICATA ALLE 10.30. SCUSATE IL DISGUIDO
Esercitazione5 Buon lavoro!
29/05 L’integrale doppio. Definizione. Integrale su rettangoli. Integrale di funzioni di variabili separabili su rettangoli. Domini semplici e domini regolari. Il cambio di variabile negli integrali doppi. (capitolo 7 delle dispense sotto).
Queste dispense coprono quasi tutto il materiale della seconda parte del corso:
Programma per i prossimi giorni:
-L’esercitazione del 3 è soppressa
-Il 6 e il 9 ci sono le ultime due lezioni
-Il 10 esercitazione su limiti e punti critici+ integrali doppi
-Il 12 esame orale per chi lo vuole fare; chi vuole fare l’esame orale il 12
me lo scriverà sull’esercitazione del 10; altrimenti il 25
5/6 Cambiamento di variabili nell’integrale doppio. Esercizi
9/6 Campi vettoriali. Rotore e Divergenza. Campi irrotazionali e campi conservativi. Lavoro e circuitazioni.
CALENDARIO PER GLI ORARI DEL PRE-APPELLO DEL 12/06
Andrea Bruno (Roma 3) - didattica online 