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Geometria – CdS in Ingegneria Civile AA 2018/2019

Ricevimento:

Giovedì 13-14.30 Stanza 109 Largo S L Murialdo 1 o per appuntamento scrivendo a bruno@mat.uniroma3.it

Programma del corso:

I modulo

1- Sistemi lineari: matrice dei coefficienti; somma di matrici e prodotto per scalari; matrici ridotte: algoritmo di Gauss-Jordan.
2- Prodotto righe per colonne di matrici; matrici invertibili; rango di una matrice: il Teorema di Rouche’-Capelli.
3- Vettori geometrici. Spazi vettoriali. Sottospazi. Vettori generatori e vettori linearmente indipendenti.
4- Base di uno spazio vettoriale; dimensione; la formula di Grassmann.
5- Applicazioni lineari: nucleo e immagine di un’applicazione lineare. Il Teorema di nullita’ piu’ rango.
6- Matrice associata a un’applicazione lineare. Diagonalizzazione di operatori lineari.

Testo di riferimento:

F. Flamini; A. Verra: “Matrici e vettori -Corso di base di geometria e algebra lineare” Carocci ed.

Un ottimo testo con esercizi svolti: in rete all’indirizzo:

Fai clic per accedere a Esercizi_algebra_lineare_2.pdf

Diario delle lezioni:

2/10 – Insiemi numerici

4/10- Equazioni lineari: generalità (Capitolo 1.1)

9/10- Esempi di sistemi lineari: 1×1, 1×2, 2×2; metodi di risoluzione e rette nel piano

11/10- Matrici. Matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema (Capitolo 1.2)

16/10- Matrici ridotte. Riduzione per righe di una matrice (Capitolo 1.3)

18/10-Algoritmo di riduzione per righe. Esempi ed esercizi.

23/10- Sistemi lineari a gradini e compatibilità di un sistema lineare ridotto(Capitolo 1.4)

25/10- Moltiplicazione righe per colonne. Esempi ed esercizi (Capitolo 2.1)

Esercizi_1

6/11- Matrici invertibili. Il caso delle matrici 2 x2: determinante e inversa

8/11- Caratterizzazione delle matrici invertibili. Il gruppo GL(n). Riduzione per righe mediante il prodotto a sinistra per una matrice invertibile.

Soluzioni_1

13/11- Determinazione dell’inversa di una matrice invertibile mediante il procedimento di Gauss-Jordan (Capitolo 2.2)

15/11- Rango di una matrice (Capitolo 2.3). Il teorema di Rouché-Capelli (Capitolo 2.4)

20/11- Spazi vettoriali. Definizione ed esempi (Capitolo 4.1)

22/11- Sottospazi vettoriali. Definizione ed esempi (Capitolo 4.2)

Esercizi_2

27/11- Sottospazi vettoriali e combinazioni lineari

29/11- Spazi vettoriali finitamente generati. Definizione ed esempi

4/12- Sistemi di vettori linearmente indipendenti. Definizione ed esempi

6/12- Il concetto di base. La base canonica di R^n. Esempi di basi in ulteriori spazi vettoriali

Soluzioni_2

11/12 Uno spazio vettoriale generato da p vettori non ha più di p+1 vettori linearmente indipendenti. Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori, che è la dimensione di uno spazio vettoriale. Se dimV=n allora n vettori linearmente indipendenti o n generatori formano una base.

13/12 Se V ha una base ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base e quindi a ogni vettore si associa in maniera univoca una n-pla di numeri reali. Esempi ed esercizi

18/12 La formula di Grassmann. Dimensione dell’intersezione di due sottospazi di uno spazio vettoriale. Applicazioni lineare, Definizione ed esempi.

Esercizi_3

08/01 Il nucleo e l’immagine di un’applicazione lineare. Il Teorema di nullità più rango

10/01 Isomorfismi tra spazi vettoriali. Due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. In particolare se dimV=n allora V e’ isomorfo a R^n.

15/01 Ogni applicazione lineare tra spazi vettoriali, si esprime tramite una matrice se sono date una base per V e una base per W.

17/01 Tale matrice non è unica: ad ogni base per V e base per W corrisponde una matrice e tutte le matrici associate a un’applicazione lineare sono legate tra loro

22/01 Se f: V -> V è un operatore lineare si può allora cercare se esiste una base rispetto a cui f e’ rappresentato da una matrice diagonale. Condizione necessaria e sufficiente affinchè un operatore sia diagonalizzabile è che f abbia n autovalori contati con molteplicità e che per ogni autovalore molteplicità algebrica e geometrica coincidano.

24/01 Diagonalizzazione di operatori (matrici quadrate): esempi ed esercizi.

Prossimi passi:

-5 febbraio ore 14 in aula N3; esercitazione finale

-12 febbraio ore 14 in aula N3: esercitazione generale finale (OGGI ARRIVO ALLE !4.30

PER ASPETTARE I COLLEGHI CHE HANNO UNA CONSEGNA DI DISEGNO)

Il 16 febbraio dalle ore 9 nelle aule N1, N3, N10 si svolgerà la prova di esonero dallo scritto per il primo modulo; possono partecipare previo prenotazione su Gomp tutti gli immatricolati.

Gli studenti dal secondo anno in poi possono partecipare all’esonero solo se hanno seguito e non hanno partecipato alla prova del 5 febbraio, a loro destinata; essi dovranno comunque contattarmi dal 12 al 14 gennaio per essere autorizzati a partecipare alla prova.

Esercizi ottimamente svolti e riguardanti il corso sono in particolare nei capitoli 7, 8, 9 del testo: http://www.dsi.unive.it/~acarraro/Esercizi_algebra_lineare_2.pdf

Un po’ di prove degli anni passati:

ESITO DELLA PROVA DI ESONERO:

ESITO_16_02_19ESITO_16_02_19

Correzione e restituzione dei compiti: venerdi’ 8 dalle ore 14.15 alle 15.45 in aula N18

PROGRAMMA DELLA SECONDA PARTE DEL CORSO:

Forme bilineari simmetriche e prodotti scalari. Lunghezze, angoli, ortogonalità. Basi ortogonali e ortonormali. Procedimento di Gram-Schmidt. Forme quadratiche. Teorema spettrale. Diagonalizzazione e classificazione di forme quadratiche su uno spazio vettoriale euclideo. Basi e forma canonica di Sylvester. Prodotto vettoriale e prodotto misto in uno spazio vettoriale euclideo di dimensione 3.
Geometria analitica in un piano e in uno spazio euclidei. Equazioni cartesiane e parametriche di rette e piani. Fasci propri e impropri di rette e di piani. determinazione della posizione reciproca di rette e piani attraverso le loro equazioni.
Curve parametrizzate. Curve regolari. Rettificabilità e lunghezza. Ascissa curvilinea. Base ortonormale mobile lungo la curva. Curvatura, torsione, raggio di curvatura. Cerchio e piano osculatore. Formule di Frenet nel piano e nello spazio. Calcolo pratico di velocità, curvatura, torsione e di tutto l’apparato mobile.
Funzioni di più variabili e loro grafici. Elementi di topologia di R^n. Continuità, derivate parziali, differenziabilità. Gradiente, derivate direzionali. Derivate successive e teorema di Schwarz. Matrice hessiana e sua interpretazione.
Funzioni differenziabili di più variabili a valori vettoriali.
Equazioni differenziali

Diario delle lezioni:

01/03- Forme bilineari e prodotti scalari. Definizioni ed esempi (Capitolo 5.1)

05/03- La matrice associata a una forma bilineare. Matrici definite positive. (Capitolo 5.3)

08/03- L’algoritmo di Gram-Schmidt (Capitolo 5.4)

Attenzione: martedì 12 e venerdì 15 avremo due lezioni!

La seconda lezione di domani si svolgerà in aula N13

12/03 Esercizi sull’algoritmo di Gram-Schmidt. Norma e basi ortonormali

12/03 Angolo tra vettori. Relazione tra le matrici che esprimono un prodotto scalare in relazione a diverse basi. La matrice del cambiamento di base tra due basi ortonormali e’ ortogonale.

15/03 Esercizi su prodotti scalari, basi ortonormali, angoli.

15/03 Operatori unitari e operatori autoaggiunti. Il polinomio caratteristico di una matrice simmetrica ha tutte le radici reali (dimostrazione per n < 4)

19/03 Esercizi riepilogativi

22/03 Spazi affini. Definizioni ed esempi

26/03 Lo spazio affine e le varietà lineari

29/03 Rette nel piano

05/04 Piani e rette nello spazio

12/04 Esercizi su piani e rette nello spazio

30/04 Coniche: definizione e invarianti per isometrie

03/05 Forme canoniche di coniche e riduzione a meno di isometrie

Esercizi_4

07/05 Geometria differenziale delle curve. Introduzione

10/05 Sulla riduzione delle coniche. Ascissa curvilinea

14/05 Apparato e formule di Frénet per una curva nel piano e nello spazio

Appunti utili:G2curve

17/05 Calcolo pratico dell’ apparato di Frénet. Equazioni differenziali a variabili separabili e lineari del primo ordine.

Appunti utili (Prof. Lancellotti, PoliTo): equazioni_differenziali_Lancellotti

21/05 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee e con particolari termini noti.

24/05 Funzioni di più variabili reali, Nozioni topologiche e limiti.

28/05 Continuità e derivabilità. Il gradiente e il Teorema di Schwarz

31/05 Funzioni differenziabili. Il piano tangente al grafico, Formula di Taylor. L’Hessiana. Condizioni sufficiente perché un punto critico sia un estremo locale di una funzione.

Appunti utili: (Prof. Centomo, Università di Padova) p_variabili

Esercizi_5

04/06 Integrali multipli

07/06 Funzioni di più variabili a valori in R^n

11/06 Esercitazione generale

La lezione di venerdi 14/06 (Fac-simile di esonero) si terrà in orario usuale 16-18 nella solita aula (credo N15)

Esercizi6

facsimile_19

Esonero: sabato 22 alle ore 9 in N11

ESONERATI_GEOM_1819 ESITO_220619

ESITO_250619

Consegna compiti ed eventuale verbalizzazione: giovedi’ 27 ore 12.30 nel mio studio

ESITO_100719

Consegna compiti ed eventuale verbalizzazione: lunedì 15 ore 12.30 nel mio studio

ESITO_030919

Consegna compiti ed eventuale verbalizzazione: lunedì 9 ore 15 nel mio studio

Geometria- Ingegneria elettronica AA 2019/20

Ricevimento:

Giovedì 13-14.30 Stanza 109 Largo S L Murialdo 1 o per appuntamento scrivendo a bruno@mat.uniroma3.it

Programma del corso:

I modulo

Testo di riferimento:

F. Flamini; A. Verra: “Matrici e vettori -Corso di base di geometria e algebra lineare” Carocci ed.

Un ottimo testo con esercizi svolti: in rete all’indirizzo:

Fai clic per accedere a Esercizi_algebra_lineare_2.pdf

Diario delle lezioni:

1/10 – Insiemi numerici

2/10- Equazioni lineari: generalità (Capitolo 1.1)

8/10- Esempi di sistemi lineari: 1×1, 1×2, 2×2; metodi di risoluzione e rette nel piano

9/10- Il metodo di Cramer. Sistemi equivalenti. Sistemi a gradini e il metodo di Gauss-Jordan

15/10- Matrici ridotte. L’algoritmo di riduzione di una matrice

16/10- Applicazione ai sistemi lineari: sistemi ridotti. Il numero delle righe non nulle di una matrice ridotta per righe che sia modificazione delle righe è un invariante

22/10- Moltiplicazione righe per colonne. Esempi ed esercizi (Capitolo 2.1)

23/10- Matrici invertibili. Il caso delle matrici 2 x2: determinante e inversa

Esercizi_1

29/10- Caratterizzazione delle matrici invertibili. Il gruppo GL(n). Riduzione per righe mediante il prodotto a sinistra per una matrice invertibile.

30/10- Determinazione dell’inversa di una matrice invertibile mediante il procedimento di Gauss-Jordan (Capitolo 2.2)

Soluzioni_1

5/11- Rango di una matrice. Definizione di spazio vettoriale

6/11- Esempi di spazi vettoriali. Il prodotto cartesiano di spazi vettoriali. Definizione di sottospazio di uno spazio vettoriale.

12/11-Esempi di sottospazi vettoriali. L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio di R^n.

13/11- Spazio somma e intersezione di due sottospazi di uno spazio vettoriale. Lo spazio delle combinazioni lineari di un numero finito di vettori. Classificazione dei sottospazi di R^2.

Esercizi_2

Soluzioni_2

19/11- Confronto tra sistemi di generatori. Esercizi sui sistemi di generatori

20/11- Vettori linearmente indipendenti

26/11- Il concetto di base. La base canonica di R^n. Esempi di basi in ulteriori spazi vettoriali

27/11 Uno spazio vettoriale generato da p vettori non ha più di p+1 vettori linearmente indipendenti. Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori, che è la dimensione di uno spazio vettoriale. Se dimV=n allora n vettori linearmente indipendenti o n generatori formano una base.

3/12 Se V ha una base ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base e quindi a ogni vettore si associa in maniera univoca una n-pla di numeri reali. Esempi ed esercizi

4/12 Basi. Esercizi ed esempi

10/12 Applicazioni lineari. Definizione ed esempi

11/12 Applicazioni lineari. Il nucleo e l’immagine di un’applicazione lineare ne regolano iniettività e suriettività. La formula di nullità più rango

Esercizi_3

DOMANI LUNEDì 16 TERRO’ UNA ESERCITAZIONE ALLE ORE 16. APPUNTAMENTO IN N16 POI VEDIAMO DOVE CI METTIAMO

GE_ING_160219_a (1)

17/12 La formula di Grassmann. Fissare una base di uno spazio vettoriale significa fissare un isomorfismo con R^n. Due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.

18/12 Ogni applicazione lineare tra R^n e R^m è data da una matrice. La composizione di applicazioni lineari è lineare; ne segue che ogni applicazione lineare tra spazi vettoriali di cui si sia fissata una base è data da una matrice.

7/1 La matrice del cambio di coordinate tra due basi. Matrici che rappresentano un’applicazione lineare rispetto a basi diverse. Operatori lineari e matrici quadrate simili.

8/1 Il problema della diagonalizzazione: autovalori e autovettori. Il caso delle matrici quadrate 2X2

CONTRARIAMENTE A QUANTO PENSAVO MERCOLEDI’ 15 NON CI SARA’ ESERCITAZIONE, CHE CI SARA’ MERCOLEDI’ 22

14/1 Determinante di matrici quadrate. Il polinomio caratteristico di una matrice

15/1 Molteplicità algebrica e geometrica di autovalori; condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilità di un operatore. Esempi ed esercizi

MERCOLEDI 22 ALLE 15 : ESERCITAZIONE SULLA DIAGONALIZZAZIONE DI OPERATORI

PROVA FINALE: 19 febbraio in N15 e in N16 dalle 14.30 alle 17

21/1 Prodotti scalari. Angolo tra vettori e norma.

22/1 Basi ortonormali. Il Teorema spettrale

ESERCITAZIONI:

4/2 ore 14-16 aula N16

11/2 ore 12-14 aula N16

GE_ING_120220

LA PROVA DI MERCOLEDI’ 19 FEBBRAIO E’ ANTICIPATA ALLE 9.30 IN AULA N 10.

(VI PREGO DI DIFFONDERE LA NOTIZIA)

GE_EL_19220_Esito

Geometria- Ingegneria Civile AA 2019/20

Ricevimento:

Giovedì 13-14.30 Stanza 109 Largo S L Murialdo 1 o per appuntamento scrivendo a bruno@mat.uniroma3.it

Programma del corso:

I modulo

Testo di riferimento:

F. Flamini; A. Verra: “Matrici e vettori -Corso di base di geometria e algebra lineare” Carocci ed.

Un ottimo testo con esercizi svolti: in rete all’indirizzo:

Fai clic per accedere a Esercizi_algebra_lineare_2.pdf

Diario delle lezioni:

1/10 – Insiemi numerici

3/10- Equazioni lineari: generalità (Capitolo 1.1)

8/10- Esempi di sistemi lineari: 1×1, 1×2, 2×2; metodi di risoluzione e rette nel piano

10/10- Il metodo di Cramer. Sistemi equivalenti. Sistemi a gradini e il metodo di Gauss-Jordan

15/10- Matrici ridotte. L’algoritmo di riduzione di una matrice

17/10- Applicazione ai sistemi lineari: sistemi ridotti. Il numero delle righe non nulle di una matrice ridotta per righe che sia modificazione delle righe è un invariante

22/10- Moltiplicazione righe per colonne. Esempi ed esercizi (Capitolo 2.1)

29/10- Matrici invertibili. Il caso delle matrici 2 x2: determinante e inversa

Esercizi_1

29/10- Caratterizzazione delle matrici invertibili. Il gruppo GL(n). Riduzione per righe mediante il prodotto a sinistra per una matrice invertibile.

31/10- Determinazione dell’inversa di una matrice invertibile mediante il procedimento di Gauss-Jordan (Capitolo 2.2)

Soluzioni_1

5/11-Invertibilità di matrici mediante il procedimento di Gauss-Jordan

7/11- Rango di una matrice. Esercizi.

12/11- Definizione di spazio vettoriale. Esempi di spazi vettoriali. L’insieme dei vettori geometrici è uno spazio vettoriale.

14/11- Il prodotto cartesiano di spazi vettoriali. Definizione di sottospazio di uno spazio vettoriale.Esempi di sottospazi vettoriali. L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo è un sottospazio di R^n.

19/11- Esercizi sui sottospazi vettoriali

Esercizi_2

21/11- Sottospazi vettoriali di R^2

26/11- Sistemi di generatori di uno spazio vettoriale. L’algoritmo di Gauss- Jordan e lo spazio generato dalle righe di une matrice

28/11- Vettori linearmente indipendenti, Definizione ed esempi.

3/12 Uno spazio vettoriale generato da p vettori non ha più di p+1 vettori linearmente indipendenti. Tutte le basi hanno lo stesso numero di vettori, che è la dimensione di uno spazio vettoriale. Se dimV=n allora n vettori linearmente indipendenti o n generatori formano una base.

5/12 Se V ha una base ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base e quindi a ogni vettore si associa in maniera univoca una n-pla di numeri reali. Esempi ed esercizi

10/12 Basi. Esercizi ed esempi

12/12 Applicazioni lineari. Definizione ed esempi. Il nucleo, l’immagine e il teorema di nullità più rango

Esercizi_3

DOMANI LUNEDì 16 TERRO’ UNA ESERCITAZIONE ALLE ORE 16. APPUNTAMENTO IN N16 POI VEDIAMO DOVE CI METTIAMO

GE_ING_160219_a (1)

17/12 La formula di Grassmann.

7/1 Fissare una base di uno spazio vettoriale significa fissare un isomorfismo con R^n. Due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.

9/1 Ogni applicazione lineare tra R^n e R^m è data da una matrice. La composizione di applicazioni lineari è lineare; ne segue che ogni applicazione lineare tra spazi vettoriali di cui si sia fissata una base è data da una matrice.

CONTRARIAMENTE A QUANTO PENSAVO MERCOLEDI’ 15 NON CI SARA’ ESERCITAZIONE, CHE CI SARA’ MERCOLEDI’ 22

ge_ing_15_16_290116

ge_ing_090916

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14/1 Cambiamenti di base. Relazione tra matrici che rappresentano un’ applicazione lineari rispetto a differenti basi. Operatori lineari e matrici simili.

16/1 Il problema della diagonalizzazione di operatori. Autovalori e autovettori. Il determinante e il polinomio caratteristico

MERCOLEDI’ 22 ALLE ORE 15 IN AULA N4 ESERCITAZIONE SULLA DIAGONALIZZABILITA’ DI OPERATORI

PER LA PROVA DI ESONERO HO PRENOTATO L’AULA N18 DALLE 9,30 IN POI IL 21 FEBBRAIO

21/1 Diagonalizzabilità di operatori

23/1 Esercitazione generale

ULTERIORI ESERCITAZIONI GENERALI:

4/2 ore 14-16 aula N16

11/2 ore 12-14 aula N16

GE_ING_120220

Esito_120220

GE_ING_CIV_210220_Esito

Mi sto attrezzando per partire il prima possibile con la didattica online.

Venerdi’ 13 alle ore 10 vorrei fare lezione. Leggero’ le dispense di Savo e cerchero’

di commentarle e di fare esercizi, seppure con scarsi mezzi.

Vi pregherei di accedere e registrarvi su Microsoft Team: per gli studenti di Roma Tre e’ sufficiente accedere e registrarsi con email istituzionale @stud.uniroma3.it e password che usate per accedere su gomp. Purtroppo non troverete su Teams il nostro corso; vi pregherei di inviarmi una mail con soltanto il vostro indirizzo @stud.uniroma3.it, dimodoché io vi inviti nel corso.

3/03 Prodotti scalari e matrici simmetriche

13/03 Prodotto scalare standard. Angolo tra due vettori. Basi ortogonali e basi ortonormali. Coefficienti di Fourier. (Dispense di A. Savo Parte 8 pagg. 1-8). La lezione è registrata su Microsof Teams

Mi e’ stato detto che potete entrare in MT e registrarvi al corso inserendo il codice!

Il codice è 41iizfi

17/03 Basi ortonormali. Coefficienti di Fourier. L’algoritmo di Gram Schmidt

20/03 Complemento ortogonale di un sottospazio. Operatori simmetrici. Gli autospazi relativi a differenti autovalori sono ortogonali. Il Teorema spettrale: gli operatori simmetrici sono caratterizzati dall’avere una base ortonormale di autovettori

24/03 Vettori del piano. Riferimenti affini e cartesiani nel piano. Equazioni parametriche e cartesiane di rette nel piano. (Savo Parte 9 da pagina 1 a pagina 18)

Esercizi7new Esercizi8new

27/03 Esercizi sulla Parte 8. Basi ortonormali e endomorfismi simmetrici

Le lezioni perdute causa pandemia (6/3 e 10/3) saranno recuperate nei giorni venerdi 10/4 ore 10-12 e martedi’ 14/4 ore 16-18.

31/03 Mutua posizione di due rette, fasci di rette impropri e propri nel piano. Proprietà euclidee: distanza tra punti del piano, rette perpendicolari, proiezione ortogonale di un punto su una retta e distanza tra punto e retta (Savo: fine parte 9). Lo spazio, lo spazio dei vettori applicati in un punto, riferimento cartesiano nello spazio (Savo. Parte 10 primi due paragrafi)

3/04 Equazione parametrica di una retta nello spazio. Intersezione di due rette. Rette complanari e sghembe, Condizione di allineamento di tre punti. Condizione di complanarità per quattro punti. Equazione cartesiana di un piano. Parallelismo e intersezione tra due piani (Savo, Parte 10 sezioni 4,5,6)

7/04 Equazioni cartesiane di una retta. Parallelismo tra retta e piano. Fasci impropri e propri di piani. Stelle di piani. (Savo, Parte 10)

10/4 (Recupero della lezione del 6/3) Prodotto scalare e prodotto vettoriale di vettori. L’area del parallelogramma. Perpendicolarità tra rette e tra una retta e un piano. Il vettore normale a un piano. (Savo, Parte 11 fino al paragrafo 4,3 incluso)

14/4 (Recupero della lezione del 10/3) Perpendicolarità tra due piani. Proiezione ortogonale di un punto su un piano e su una retta. Distanza di un punto da una retta e da un piano. Distanza tra due rette. (Savo, Parte 11, fino al paragrafo 8 escluso)

17/4 Esercizi su dstanze tra rette e rette. Trasformazioni del piano, Formule per cambiamenti di riferimenti cartesiani. Un esempio (Savo, Parte 12a, prime tre sezioni)

21/4 Forme quadratiche in due ( o più) variabili. Forme definite, indefinite, semidefinite. Criteri per la definizione di una forma quadratica (in due variabili: traccia e determinante); ellisse, iperbole, parabola (Savo. Parte 12a)

24/4 Invarianti di una conica. Forme canoniche di coniche. Riduzione di una conica a forma canonica. Il metodo degli invarianti (Savo. Parte 12b)

Esercitazioni a distanza

28/4 Riduzione a forma canonica di una conica.

Esercitazione1 Buon lavoro!

5/5 Curve regolari; vettore tangente e piano osculatore di una curva regolare; lunghezza dell’arco di curva. (Dispense G2, primi 5 paragrafi. HO DIMENTICATO DI REGISTRARE LA LEZIONE!)

G2curve

Esercitazione2 Buon lavoro!

8/5 Triedro di Frenet e Formule di Frenet per curve piane e spaziali (Fine dispense G2)

esercizigd1

2017gdes2

(esercizi del Savo, alcuni dei quali molto più difficili di quanto richiesto; relative dispense e soluzioni agli esercizi sul suo sito)

Esercizi_5

(nella prima parte di Esercizi 5: tante curve di cui calcolare TF, curvatura e torsione)

12/5 Esercizi su curve differenziabili nello spazio. Equazioni differenziali ordinarie: definizioni ed esempi. Il problema di Cauchy. Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili.

equazioni_differenziali_Lancellotti

Esercitazione3

15/5 Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in forma normale lineari . Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine in forma normale lineari a coefficienti costanti. La soluzione generale dell’equazione omogenea. Soluzioni particolari di equazioni non omogenee nel caso di termine noto della forma P(x)e^(a(x)).

Un altro file contenenti esercizi svolti e che ritengo utile è il seguente:EqDif2

Il file EDO è invece utile per approfondimenti (il Teorema 2.2 ha la dimostrazione, solo accennata in classe, del fatto che l’insieme delle soluzione di una EDO lineare a coefficienti costanti è uno spazio vettoriale di dimensione l’ordine della EDO).

Esercitazione4 Buon lavoro!

19/5 Esercizi su equazioni differenziali. Funzioni di più variabili reali. Introduzione

p_variabili

22/5 Nozioni topologiche. Il concetto di limite. Calcolo di limite: restrizioni a curve e coordinate polari. Continuità.

26/5 Il gradiente di una funzione. Derivabilità e differenziabilità di una funzione. Punti critici e loro classificazione a seconda del segno della matrice Hessiana. Derivata direzionale

L’ESERCITAZIONE DEL 27/5 SARA’ CARICATA ALLE 10.30. SCUSATE IL DISGUIDO

Esercitazione5 Buon lavoro!

29/05 L’integrale doppio. Definizione. Integrale su rettangoli. Integrale di funzioni di variabili separabili su rettangoli. Domini semplici e domini regolari. Il cambio di variabile negli integrali doppi. (capitolo 7 delle dispense sotto).

Queste dispense coprono quasi tutto il materiale della seconda parte del corso:

matdid278557

Programma per i prossimi giorni:

-L’esercitazione del 3 è soppressa

-Il 6 e il 9 ci sono le ultime due lezioni

-Il 10 esercitazione su limiti e punti critici+ integrali doppi

-Il 12 esame orale per chi lo vuole fare; chi vuole fare l’esame orale il 12

me lo scriverà sull’esercitazione del 10; altrimenti il 25

5/6 Cambiamento di variabili nell’integrale doppio. Esercizi

GE_ING_030919

GE_ING_120220

GE_ING_100719